Inecuaciones

Inecuaciones: concepto, gráficos, clasificación y ejemplos, de primer grado y de segundo grado

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Concepto de Inecuaciones

Una inecuación es una expresión algebraica, en la que figura una desigualdad, en lugar del signo igual (=).

Las inecuaciones de primer grado se resuelven, generalmente, despejando la x.

Pero al momento de despejar la x, hay que tener en cuenta, los siguientes aspectos:

-Si se suma, o se resta, a ambos miembros de la inecuación, una misma cantidad, la inecuación obtenida, es equivalente a la anterior, es decir, se satisface con el mismo conjunto solución.

Por ejemplo, si tenemos:
2 - 2x < 6 -3x
y le sumamos 2x de cada lado de la igualdad, nos queda:
2 - 2x + 2x < 6 -3x + 2x
2 < 6 - x

-Si se multiplica, o se divide, a ambos miembros de la inecuación, por un número positivo, se obtiene una inecuación equivalente.

Por ejemplo, si tenemos :
2 - 2x < 6 -3x
y multiplicamos 1/2 de cada lado de la igualdad, nos queda:
(2 - 2x).1/2 < (6 -3x).1/2
1 - x < 3 - 3/2x

-Y si se multiplica, o se divide, a ambos miembros de una inecuación, por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido

Por ejemplo, si tenemos :
2 - 2x < 6 -3x
y multiplicamos -1/2 de cada lado de la igualdad, nos queda:
(2 - 2x).(-1/2) < (6 -3x).)(-1/2)
-1 + x > -3 + 3/2x

Cuando trabajamos con inecuaciones de primer grado, con una incógnita, estamos ante la interpretación de un intervalo.

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Ejemplo de Inecuación de Primer Grado

Ejemplo de inecuación: 2 - 2x < 6 -3x

Para resolver esta inecuación, sumamos 2x - 6, a cada lado de la desigualdad
2 - 2x + (2x - 6) < 6 -3x + (2x - 6)
-4 < -x

Luego, multiplicamos ambos miembros, por -1
-4.(-1) < -x.(-1)
4 > x

Y la interpretación a la que llegamos, es que, suponiendo que x pertenece al conjunto de los número reales, el conjunto solución de esta inecuación, es el intervalo (-∞, 4), es decir, que x puede tomar cualquier valor menor a 4.

Podemos graficar dicha desigualdad, tomando cada miembro de la inecuación, como funciones de la variable x:
2 - 2x < 6 -3x
g(x) = 2 - 2x
f(x) = 6 -3x
g(x) < f(x)

Como se puede deducir, la desigualdad se cumple, para todos los valores de x, en la que la función f(x), sea superior a la función g(x)

inecuacion-ejemplo

La desigualdad se cumple, mientras x sea menor a 4, e y sea mayor a -6.

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Ejemplo de Inecuación de Segundo Grado

Sea la inecuación:
x2 - 4x + 3 < x - 1

Sumamos el término -x + 1 a ambos miembros
x2 - 4x + 3 + (-x + 1) < x - 1 + (-x + 1)
x2 - 5x + 4 < 0

Luego, factoreando, nos queda:

α1 = (-a1+√(a12-4.a2.a0) ) / 2.a2
α1 = ( -(-5)+√( (-5)2-4.1.4 ) ) / 2.1
α1 = ( 5+√( 25-16 ) ) / 2
α1 = ( 5+√( 9 ) ) / 2
α1 = ( 5 + 3 ) / 2
α1 = 8 / 2
α1 = 4

α2 = (-a1-√(a12-4.a2.a0) ) / 2.a2
α2 = ( -(-5)-√( (-5)2-4.1.4 ) ) / 2.1
α2 = ( 5-√( 25-16 ) ) / 2
α2 = ( 5-√( 9 ) ) / 2
α2 = ( 5 - 3 ) / 2
α2 = 2 / 2
α2 = 1

(x - 1) . (x - 4) < 0

Ahora, por interpretación, vemos que, para que la desigualdad se cumpla, uno de los factores debe ser positivo, y el otro debe ser negativo. Si ambos son negativos, o son positivos, no se cumpliría la desigualdad, ya que la misma, indica, que la multiplicación de dichos factores, debe ser menor a cero.

Entonces, existen dos posibilidades:
-que (x-1) < 0 y que (x-4) > 0
-o que (x-1) > 0 y que (x-4) < 0

Si analizamos el primer caso, (x-1) < 0 y (x-4) > 0, tenemos que:
(x-1) < 0
(x-1) + 1 < 0 + 1
x < 1

Mientras que:
(x-4) > 0
(x-4) + 4 > 0 + 4
x > 4

Como no existe un número que sea menor a 1 y mayor a 4, al mismo tiempo, el conjunto solución en este caso, sería el conjunto vacío
S1 = Φ

Con respecto al segundo caso, (x-1) > 0 y (x-4) < 0, tenemos:
(x-1) > 0
(x-1) + 1 > 0 + 1
x > 1

Mientras que:
(x-4) < 0
(x-4) + 4 < 0 + 4
x < 4

En este caso, podemos determinar que el conjunto solución, es el intervalo que va desde 1 a 4
S2 = (1, 4)

En consecuencia, el conjunto solución de la inecuación, es la unión de ambos conjuntos
S = S1 ∪ S2
S = Φ ∪ (1, 4)
S = (1, 4)

Para resolver gráficamente, podemos tomar cada uno de los miembros de la inecuación inicial, como una función:
x2 - 4x + 3 < x - 1
g(x) = x2 - 4x + 3
f(x) = x - 1
g(x) < f(x)

inecuacion-segundo-grado-ejemplo

Vemos efectivamente, que en el intervalo de x, que va desde 1 a 4, se cumple que g(x)<f(x).

O como alternativa, podemos graficar la desigualdad
x2 - 5x + 4 < 0
h(x) = x2 - 5x + 4
h(x) < 0

inecuacion-segundo-grado-ejemplo2

Y vemos que, de la misma manera, en el intervalo de x, que va desde 1 a 4, se cumple que h(x)<0

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