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Concepto de Sistemas de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones, es aquel sistema que cuenta con dos o más ecuaciones, y que en general, posee un número acotado de soluciones.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Una ecuación algebraica con dos incógnitas, tiene la siguiente forma:
m1.y + m2.x + m3 = 0

Basandonos en esta definición, podemos decir que un sistema de ecuaciones lineales, con dos incógnitas, es aquel que tiene la siguiente forma:
m1.y + m2.x + m3 = 0
n1.y + n2.x + n3 = 0

Para la primer ecuación, el conjunto solución se denomina S1.

Mientras que, para la segunda solución, el conjunto solución se denomina S2.

Ahora, para que el sistema sea "compatible determinado", debe existir un conjunto solución, que satisfaga a ambas ecuaciones, al mismo tiempo.

Es decir, la intersección entre el conjunto solución S1 y el conjunto solución S2:
S = S1S2

Para encontrar el conjunto solución del sistema, S, se utilizan diferentes métodos, como sustitución, igualación, resolución por determinantes, etc.

Por ejemplo, podemos despejar x o y, en ambas ecuaciones, y luego igualamos dichas ecuaciones:
y = -(m2/m1).x - (m3/m1)
y = -(n2/n1).x - (n3/n1)
-(m2/m1).x - (m3/m1) = -(n2/n1).x - (n3/n1)

Con esto, averiguamos el valor de x, que luego, reemplazando en algunas de las ecuaciones definidas, nos sirve para averiguar el valor de y.

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Interpretación Geométrica del Conjunto Solución del Sistema

Para el sistema de ecuaciones definido anteriormente:
m1.y + m2.x + m3 = 0
n1.y + n2.x + n3 = 0

Los conjuntos solución de cada ecuación, serán:
y = -(m2/m1).x - (m3/m1) = a1x + a0
y = -(n2/n1).x - (n3/n1) = b1x + b0

Ahora, al trazar los puntos que pertenecen a ambas ecuaciones, puede ocurrir lo siguiente:
-que las rectas se intersecten en un solo punto
-que las rectas no se intersecten
-que ambas rectas coincidan

Si las rectas se intersectan en un solo punto, entonces es un sistema de ecuaciones compatible determinado, y el conjunto solución de dicho sistema, es el par (x1;y1)
S = [(x1;y1)]

sistema-ecuaciones-lineales-compatible-determinado

Si las rectas no se intersectan, es decir, son paralelas, entonces es un sistema de ecuaciones incompatible, ya que ningún par de puntos, pertenece a ambas rectas, al mismo tiempo, por lo que, el conjunto solución, es el conjunto vacío:
S = Φ

Esto sucede, cuando las rectas que forman parte del sistema de ecuaciones, tienen la misma pendiente, pero distinta ordenada.

sistema-ecuaciones-lineales-incompatible

Ahora, si las rectas se intersectan en todos los puntos, es decir, que ambas rectas sean la misma, entonces es un sistema de ecuaciones compatible indeterminado.

En este tipo de sistemas, todos los pares (x;y) que pertenecen a cualquiera de las rectas, satisfacen dicho sistema.

Para que este caso suceda, es necesario que una de las ecuaciones, pueda escribirse en términos de la otra, multiplicada por una constante.

Suponiendo que tenemos la constante c, las ecuaciones deberían tener la siguiente forma:
m1.y + m2.x + m3 = 0
c.m1.y + c.m2.x + c.m3 = 0

En donde puede observarse, que la recta de ambas, es:
y = -(m2/m1).x - (m3/m1) = a1x + a0

sistema-ecuaciones-lineales-compatible-indeterminado

Cuando estamos trabajando con ecuaciones de un sistema compatible indeterminado, es decir, ecuaciones que tienen la misma recta, se puede decir que una ecuación, es combinación lineal de la otra, o que puede escribirse en términos de la otra, pre-multiplicada por una constante.

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Ejemplo de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Teniendo un rectángulo, necesitamos averiguar cuál es el área del mismo.

El primer dato que tenemos, es que su perímetro mide 24cm.

El segundo dato, es que la diferencia entre la base y la altura, es decir, entre sus lados, es de 2cm.

Entonces, con estos datos, llamaremos x, a la longitud de la base, mientras que llamaremos y, a la longitud de la altura.

Según como dibujemos el rectángulo, uno de los lados, la base o la altura, medirá más que el otro. En este caso, haremos que la base sea el lado de mayor dimensión.

sistema-ecuaciones-lineales-ejemplo

Con todo esta información, armamos las ecuaciones:
-el perímetro del rectángulo, que es: 2.base + 2.altura, lo podemos expresar así:
2x + 2y = 24
-la diferencia entre x e y, es de 2cm. Esto lo expresamos así:
x - y = 2

Una vez conociendo las ecuaciones, tenemos el sistema de ecuaciones.

Despejamos y:
y = -x + 12
y = x -2

Según podemos observar, el sistema resulta ser compatible determinado, es decir, por un lado, las rectas no tienen la misma pendiente, y por otro lado, las ecuaciones no son combinaciones lineales.

Luego, igualamos las funciones, para calcular x:
x - 2 = -x + 12
x + x = 12 + 2
2x = 14
x = 7

A continuación, reemplazamos el valor obtenido de x, en cualquiera de las ecuaciones:
y = (7) - 2
y = 5

Y con estos valores obtenidos, es decir, el valor de la base y de la altura, 7cm y 5cm, respectivamente, calculamos el área del rectángulo:
Área = base x altura
Área = 7cm x 5cm = 35 cm2

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Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Se dice que un sistemas es no lineal, cuando la función solución de alguna de las ecuaciones, no es una línea recta.

Un ejemplo puede ser el siguiente sistema:
y2 + F1(x).y + F2(x) = 0
y2 + F1*(x).y + F2*(x) = 0

En el cuál podemos ver, que las ecuaciones presentan variables de segundo grado.

También, puede suceder que Fi(x) y Fi*(x) sean de segundo grado.

En estos casos, podemos tener un sistema compatible determinado, o sino, un sistema incompatible, a menos que ambas ecuaciones, tengan la misma función solución.

Si el sistema es compatible determinado, el conjunto solución serán los pares ordenados, que coinciden con los puntos de intersección de las funciones solución.

El método más sencillo para resolver este tipo de sistema, es la sustitución.

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Ejemplo de Sistema de Ecuaciones No Lineales

y - x2 - 5x + 4 = 0
-4y + x - 1 = 0

Despejando y, tenemos:
y = x2 + 5x - 4
y = 1/4.x - 1/4

Con lo que podemos deducir, que tendremos una parábola, y una recta, como funciones solución, y la intersección de ambas, será el conjunto solución.

Ahora, sustituyendo la segunda ecuación, en la primera, por el valor de y, obtenemos:
1/4.x - 1/4 = x2 + 5x - 4
0 = x2 + 5x - 4 - 1/4.x + 1/4
0 = x2 + 19/4.x - 15/4
0 = (4).x2 + (4).19/4.x - (4).15/4
0 = 4x2 + 19x - 15

Y calculando las raíces de esta expresión, obtenemos:

α1 = (-a1+√(a12-4.a2.a0) ) / 2.a2
α1 = (-19+√( 361-4.4.(-15) ) ) / 2.4
α1 = (-19+√( 361+240 ) ) / 8
α1 = (-19+√( 601 ) ) / 8
α1 = (-19 + 24.52 ) / 8
α1 = (5.52 ) / 8
α1 = 0.69

α2 = (-a1-√(a12-4.a2.a0) ) / 2.a2
α2 = (-19-√( 361-4.4.(-15) ) ) / 2.4
α2 = (-19-√( 361+240 ) ) / 8
α2 = (-19-√( 601 ) ) / 8
α2 = (-19 - 24.52 ) / 8
α2 = (-43.52 ) / 8
α2 = -5.44

Reemplazando estos valores de x, en la ecuación lineal, obtenemos:
α1 = 0.69 −−> y = 1/4(0.69) - 1/4 = -0.08
α2 = -5.44 −−> y = 1/4(-5.44) - 1/4 = -1.61

Con lo que, se puede deducir, que el conjunto solución, es decir, los puntos en los que se intersectan la recta y la parábola, son:
S = [(0.69; -0.08) , (-5.44; -1.61)]

sistema-ecuaciones-no-lineales-ejemplo

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