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Concepto de Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad, que se satisface para determinados valores de la/s variable/s, que en ella figuran.

Si el conjunto solución de la ecuación, tiene un número determinado de elementos, se dice que la ecuación es compatible determinada.

Ahora, si el conjunto solución de la ecuación, es el conjunto vacío, entonces la ecuación de denomina incompatible.

Algunos ejemplos de ecuaciones, pueden ser: calcular las raíces de un polinomio, encontrar la recta que pasa entre dos punto, etc.

En ese sentido, podemos decir que el hecho de tener que calcular los valores que toma la variable independiente de una función, con respecto a un valor particular de la variable dependiente, es una ecuación también.

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Ejemplos de Ecuaciones


Ejemplo A)

Sea la función:
f: R −−> R / y = 5x + 2

Y de esta, queremos calcular que valor toma x, cuando y=1
5x + 2 = 1
5x = 1 - 2
5x = -1
x = -1/5

Por lo que, x=[-1/5], es el conjunto solución de 5x+2=1.


Ejemplo B)

Sea la igualdad, entre dos expresiones:
36(x2+1) = 64(x+2)

Y de esta igualdad, queremos conocer que valor de x la satisface:
36(x2+1) = 64(-x+2)
log6 36(x2+1) = log6 64(-x+2)
(x2+1) . log6 36 = 4(-x+2) . log6 6
(x2+1) . 2 = 4(-x+2) . 1
(x2+1) . 2 = 4(-x+2)
(x2+1) = 4(-x+2) / 2
(x2+1) = 2(-x+2)
x2 + 1 = -2x + 4
x2 + 1 +2x -4 = 0
x2 +2x -3 = 0

Siendo las raíces del polinomio, es decir, los valores que lo hacen cero, las siguientes: α1=-3 y α2=1, o lo que es lo mismo decir, el conjunto solución de la ecuación es: x=[1,-3].


Ejemplo C)

Ahora, sea el siguiente polinomio:
x4 + 1 = 0

Vemos que en dicho polinomio, no podemos calcular sus raíces, por lo tanto, estamos ante una ecuación incompatible, y el conjunto solución en este caso, es el conjunto vacío: x=Φ.

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Clasificación de las Ecuaciones

Podemos clasificar las ecuaciones de la siguiente manera:

Ecuaciones
|
Ecuaciones Algebraicas
-----
Ecuaciones No Algebraicas
|
|
Ecuaciones Enteras
Ecuaciones Fraccionarias
Ecuaciones Logarítmicas
Ecuaciones Exponenciales
Ecuaciones Trigonométricas

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Ecuaciones Enteras de una variable

Según clasificamos, las ecuaciones algebraicas pueden ser enteras o fraccionarias.

Una ecuación polinómica entera, con una sola variable de grado n, tiene la siguiente forma:
anxn + an-1xn-1 + ... + aixi + ... + a1x1 + a0x0
o lo que es lo mismo,
anxn + an-1xn-1 + ... + aixi + ... + a1x + a0


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Ejemplos de Ecuaciones Enteras de una sola variable:

Ejemplo A)

Si tenemos una pileta cuyo volumen es de 200m3, e inicialmente había 1/8 del volumen total de la pileta con agua, y luego, se agregó 3/5 partes del mismo volumen, cuanto faltaría para que se llene dicha pileta?

Podemos plantear la ecuación de primer grado, con una incógnita, de la siguiente manera:
1/8(200) + 3/5(200) + x = 200

En este caso, x es el volumen faltante, y la solución
1/8(200) + 3/5(200) + x = 200
25 + 120 + x = 200
145 + x = 200
x = 200 - 145
x = 55

Podemos concluir que la raíz de esta expresión polinómica, es 55, es decir, el valor que hace cero al polinomio, y que es la solución del problema.


Ejemplo B)

Si tenemos que, el cuadrado de un número, sumado a su sextuplo, da 27, cuál es el número en cuestión

En este caso, podemos plantear una ecuación polinómica de segundo grado, con una incognita, de la siguiente manera:
x2 + 6x = 27

Por lo que, en este caso, es necesario hallar las raíces del polinomio, para encontrar la solución
x2 + 6x -27 = 0

α1 = (-a1+√(a12-4.a2.a0) ) / 2.a2
α1 = (-6+√(62-4.1.(-27) ) ) / 2.1
α1 = (-6+√(36+108 ) ) / 2
α1 = (-6+√(144 ) ) / 2
α1 = (-6+12 ) / 2
α1 = 6 / 2
α1 = 3

α2 = (-a1-√(a12-4.a2.a0) ) / 2.a2
α2 = (-6-√(62-4.1.(-27) ) ) / 2.1
α2 = (-6-√(36+108 ) ) / 2
α2 = (-6-√(144 ) ) / 2
α2 = (-6-12 ) / 2
α2 = -18 / 2
α2 = -9

En este caso, el conjunto solución esta dado por dos valores:
x=[3, -9]


Ejemplo C)

Teniendo la siguiente función:
f = 1/2.a.t2 + v.t + e

Y siendo:
a: aceleración (m/seg2)
v: velocidad inicial (m/seg)
e: distancia (m)
t: tiempo empleado para recorrer la distancia e (seg)

Ahora, suponiendo que un cuerpo, que parte del reposo, cae a una distancia de 20m. Y suponiendo que su aceleración fue de 10m/seg2 (aceleración por la gravedad), cuanto tiempo duró la caída?

Tomando la función anteriormente planteada, y reemplazando, tenemos:
f = 1/2.(-10).t2 + (0).t + 20
f = -5.t2 + 20
-5.t2 + 20 = 0
-5.t2 = -20
t2 = -20 / -5
t2 = 4
t = √4
t = ±2

En este caso, en un sentido físico, la solución es t=+2 segundos, y se desecha la otra raíz.

ecuacion-entera-una-variable-ejemplo

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Ecuaciones Enteras con dos incógnitas

El caso más general de las ecuaciones algebraicas enteras con dos incógnitas, es aquella que tiene a x e y como incógnitas.

La función implícita en este tipo de ecuaciones, es la función lineal.

Para este tipo de ecuaciones, basadas en la función lineal, se puede verificar que no existe una cantidad finita de soluciones para la ecuación.

Al contrario, existen infinitos puntos que pertenecen a la recta, y que son solución de dicha ecuación. Estos puntos, se definen a través de los pares (x;y).

El conjunto solución de estas ecuaciones, es:
S = [ (x;y) / y = f(x) ]

Cuando las ecuaciones se satisfacen por un número infinito de elementos, se denominan Ecuaciones Compatibles Determinadas.


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Ejemplo de Ecuación Entera con dos incógnitas:

y - 3x - 3 = 0

Donde, acomodando los términos, tenemos:
y = 3x + 3

Y en donde podemos calcular, dos puntos: uno que corta al eje de las absisas, y otro que corta al eje de las ordenadas, reemplazando alguna de las variables, por cero:
x=0 −−> y = 3(0) + 3 = 3 −−> (0;3)
y=0 −−> 0 = 3x + 3 −−> -3 = 3x −−> -1 = x −−> (-1;0)

ecuacion-entera-dos-incognitas-ejemplo

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Ecuaciones Algebraicas Fraccionarias

Una ecuación algebraica fraccionaria, es aquella que tiene la siguiente forma:

ecuacion-fraccionarias
O lo que es lo mismo
ecuacion-fraccionarias-2

Los valores que hacen cero al polinomio P(x), es decir, sus raíces, son el conjunto solución de la ecuación. Esto es, siempre y cuando, para dichos valores, sea P(x)/Q(x)=0


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Ejemplo de Ecuaciones Algebraicas Fraccionarias:

ecuacion-fraccionaria-ejemplo

En este ejemplo, vemos que el conjunto solución de la ecuación es x=[1]

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Ecuaciones No Algebraicas

Las ecuaciones no algebraicas, son aquellas que están formadas por expresiones exponenciales, logarítmicas y/o trigonométricas.

En algunos caso, este tipo de ecuaciones, pueden resolverse fácilmente, reduciéndolas a ecuaciones polinómicas, de grado n, y con una sola variable.

En otros casos, realizando una simple sustitución, nos facilita obtener la solución deseada.


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Ejemplos de Ecuaciones No Algebraicas:

Ejemplo de ecuación exponencial

3x/2 = 3-3/2
3x/2 = 1 / 33/2
3x/2 = 1 / (32/2.31/2)
3x/2 = 1 / (3.31/2)
3x/2.31/2 = 1 / 3
3(x+1)/2 = 1 / 3
log3 1/3 = (x+1)/2
-1 = (x+1)/2
-1.2 = (x+1)
-2 = x+1
-2 - 1 = x
-3 = x


Ejemplo de ecuación logarítmica

log (3x + 2) - 2 = 0
log (3x + 2) = 2
102 = (3x + 2)
100 = 3x + 2
100 - 2 = 3x
98 = 3x
98/3 = x


Ejemplo de ecuación trigonométrica

2.cos2 t + cos t = 1
reemplazamos cos t = x
2x2 + x - 1 = 0

y cuyas soluciones parciales, se reduce a encontrar las ráices de una ecuación de segundo grado : α1 = (-1+√(12-4.2.(-1) ) ) / 2.2
α1 = (-1+√(1+8 ) ) / 4
α1 = (-1+√(9 ) ) / 4
α1 = (-1+3 ) / 4
α1 = (2 ) / 4
α1 = 1 / 2

α2 = (-1-√(12-4.2.(-1) ) ) / 2.2
α2 = (-1+√(1+8 ) ) / 4
α2 = (-1+√(9 ) ) / 4
α2 = (-1-3 ) / 4
α2 = (-4 ) / 4
α2 = -1

Es decir, cos t1=1/2 y cos t2=-1

Luego, aplicamos la función trigonométrica inversa del coseno, para obtener la solución definitiva:
t1 = arcos(1/2) = π/3
t2 = arcos(-1) = π

Por lo que, el conjunto solución de esta ecuación es t=[π/3,π]


Ahora, si bien existen ecuaciones que son fácil transformarlas, y así poder calcular sus raíces, también existen las llamadas ecuaciones trascendentes, las cuáles no son posibles transformar a una ecuación polinómica de resolución simple. Por el contrario, estas ecuaciones trascendentes deben ser calculadas en forma numérica o gráfica.

Ejemplo de Ecuación Trascendente

cos x + ex - 1 = 0

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