Funciones Trigonométricas

Las funciones circulares o trigonométricas se definen como la longitud de ciertas líneas, conectadas con una circunferencia, de radio unidad (uno).

Teniendo la siguiente ecuación algebraica como ejemplo:
x² + y² -1 = 0

Mediante pasajes de términos, de un lado de la igualdad hacia el otro, obtenemos:
y = ±√(1-x²)

Que sería la solución de la ecuación, y que en este caso, son soluciones, representadas por las funciones:
y = +√(1-x²)
y = -√(1-x²)

Como vemos, el dominio en ambos casos es -1 ≤ x ≤ 1 (esto es porque un valor de x mayor a 1, o menor que -1, haría que el valor dentro de la raíz, sea negativo, y por lo tanto, no tendría solución dentro de los números reales)

Si graficamos dichas funciones, las mismas son semicircunferencias, centradas en el origen de coordenadas, y cuyo radio es la unidad (uno).

Ahora bien, si a partir del eje de las absisas, indicamos un ángulo t, tomando como referencia, la parte positiva de dicho eje, y dibujando el ángulo, en sentido contrario a las agujas del reloj.

Luego, trazamos una recta, desde el origen, hacia afuera de la circunferencia (o semicircunferencia), formando el ángulo t, anteriormente mencionado, con el eje de las absisas. Y a continuación, podemos especificar las siguientes longitudes: sen t, cos t y tag t.

Que corresponden a las funciones seno, coseno y tangente del argumento (ángulo) t, respectivamente.

Por otra parte, el ángulo o argumento t, se puede medir en dos unidades: en grados sexagesimales o en radianes.

Para facilitar los análisis, lo mediremos en radianes. Y en este caso, el ángulo t, es numéricamente igual, a la longitud del arco de la circunferencia, denotado por AB.

Aunque también, y en caso de que se necesite, se puede convertir la unidad de un ángulo, desde grados sexagesimales a radianes, y vicerversa, teniendo en cuenta las siguientes fórmulas:
α° = (α_rad.180°)/π
α_rad = (α°.π)/180°

Para realizar las gráficas de las funciones sen t y cos t, empezamos por dibujar un círculo de radio unitario, suponiendo que el argumento t, se genera en sentido positivo

Para realizar dichas gráficas, se debe tomar la medida del sen t y del cos t, para cada uno de los ángulos con los que se este trabajando, y trasladarlas a los ejes de coordenadas.

El dominio de las gráficas, son los números reales, R. Mientras que el conjunto imagen, es solo el intervalo [1;-1].

Si el ángulo t se sigue incrementando, más allá de 2π radianes, es decir, más de un giro, las funciones sen t y cos t continuan oscilando indefinidamente, entre 1 y -1, de forma periódica.

Para cualquier argumento t, es válida la siguiente igualdad: f(t+T) = f(t)
si T=2nπ , con n=0,1,2,3,... , es decir,
n=0 −−> T=2.0.π=0,
n=1 −−> T=2.1.π=2π,
n=2 −−> T=2.2.π=4π,...

Si las funciones verifican esta ecuación, se denominan periódicas.

El valor que corresponde a T, para n=1, se denomina período de la función, es decir, T=2.1.π=2π.

Las funciones seno y coseno, son periódicas, con período 2.

La función tag t es periódica, aunque su período es π.

La función tag t no esta definida para los siguientes ángulos:
t = π/2 + nπ , siendo n=0,1,2,3...

Es decir, al momento de definir el dominio, se deben excluir dichos ángulos.

En cuanto al conjunto imagen, el mismo es el conjunto de los números reales, R.

Por otra parte, podemos trazar rectas en t=π/2+nπ, y las mismas se denominan, asíntotas verticales.

También, podemos observar que la función cos t es par.

Mientras que las funciones sen t y tag t, son impares.

A partir de las funciones sen t, cos t y tag t, podemos definir las funciones secante, cosecante y cotangente.

sec t = 1 / cos t
cosec t = 1 / sen t
cotag t = 1 / tag t

A partir de las funciones trigonométricas, como seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente, podemos definir diversas relaciones, en formas diferentes.

Una de las relaciones más importantes, es la relación trigonométrica fundamental:
sen² t + cos² t = 1

La relación trigonométrica fundamental, se puede demostrar, a partir de la definición misma de las funciones circulares, es decir, la ecuación del círculo de radio uno
x² + y² = 1

Reemplazando sobre dicha ecuación, las siguientes coordenadas:
x = sen t
y = cos t

Vemos que queda demostrada la relación
(sen t)² + (cos t)² = 1

Otras relaciones que existen, son las siguientes:

• tag t = sen t /cos t
• sen (r ± t) = sen r . cos t ± cos r . sen t
• cos (r ± t) = cos r . cos t ± sen r . sen t
• tag (r ± t) = (tag r ± tag t ) / (1 ± tag r . tag t)

Las funciones circulares inversas o trigonométricas inversas, son el arcoseno, el arcocoseno y el arcotangente.

Las funciones circulares inversas, en principio, no son biyectivas, por lo tanto, no tienen inversa.

Sin embargo, si las acotamos, tomando solo las ramas principales, entonces, resultan biyectivas, y por ende, podemos obtener sus inversas:

f: [-π/2;π/2] −−> [-1,1] / f(t) = sen t
f: [0;π] −−> [-1,1] / f(t) = cos t
f: [-π/2;π/2] −−> R / f(t) = tag t

Luego

f: [-1,1] −−> [-π/2;π/2] / f^-1(t) = arcsen t
f: [-1,1] −−> [0;π] / f^-1(t) = arccos t
f: R −−> [-π/2;π/2] / f^-1(t) = arctag t

En la función arctag t, se puede observar a las rectas y=π/2 y y=-π/2, como asíntotas de dicha función.

Por otra parte, podemos definir las inversas de las funciones sec t, cosec t y cotag t, tomando solo, las ramas principales de las mismas.

Algunas de las aplicaciones de las funciones trigonométricas, y sus inversas, son las siguientes:

• Para calcular triángulos planos en geometría plana
• Para calcular triángulos esféricos en astronomía
• Para modelizar fenómenos mecánicos o eléctricos, de caracter oscilatorio

Ejemplos:
-Triángulo Rectángulo
-Triángulo Oblicuángulo
-Sistema Masa-Resorte

Podemos calcular los elementos de un triángulo rectángulo, conociendo un ángulo y un lado, o dos lados, utilizando las siguientes fórmulas:

sen α = cos β = a/c
cos α = sen β = b/c
tag α = cotag β = a/b

Por otra parte, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras como soporte, el cuál se obtiene, de la relación trigonométrica fundamental.

sen² α + cos² α = 1

Reemplazando seno y coseno, obtenemos:
(a/c)² + (b/c)² = 1
a²/c² + b²/c² = 1
1/c² . (a² + b²) = 1
(a² + b²) = 1 . c²
a² + b² = c²

Es decir, con esta ecuación, podemos calcular la longitud de un lado, conociendo los otros dos.

Existen dos teoremas, que permiten resolver cuando los triángulos son oblicuángulos. Estos son, el Teorema del Seno, y el Teorema del Coseno. Estos teoremas, permiten conocer los elementos de un triángulo, conociendo tres del mismo.

Teorema del Seno:
a/sen α = b/sen β = c/sen γ

Teorema del Seno:
a² = b² + c² - 2.b.c.cos α
b² = a² + c² - 2.a.c.cos β
c² = a² + b² - 2.a.b.cos γ

Por otra parte, tenemos los fenómenos oscilatorios, que se describen por medio, de este tipo de funciones.

Un ejemplo de fenómeno oscilatorio, es el sistema masa-resorte, que oscila alrededor de una posición de equilibrio.

La posición en cada instante de la masa, se puede describir como una función sinusoidal:
y = Â sen (w.t)

En dicha función sinusoidal, la constante  representa la amplitud máxima de oscilación, mientras que la constante w, se definen como la pulsación.

El coeficiente  es un factor de escala.

Mientras que w esta relacionado con la frecuencia de oscilación, es decir, la cantidad de veces por segundo, que la masa realiza una sinusoide completa.

Ahora, definiendo w=2π/T, y siendo T el período de la función, tenemos que, cuando t=T, se completa una sinusoide.

De la definición anterior, vemos que, si T disminuye, w aumenta, y se produce un mayor número de oscilaciones en igual tiempo.

Ahora, si T aumenta, w disminuye, y se produce un menor número de oscilaciones en igual tiempo.