Función Logarítmica

La función logarítmica se define como
f: R > 0 −> R / y = log_a x

La función logarítmica vendría a ser la inversa de la función exponencial.

Si definimos la función exponencial como
f: R −> R > 0 / y = a^x
donde a > 0 y a ≠ 1

entonces, la función exponencial resulta biyectiva, y por lo tanto, tiene inversa, que es la función logarítmica.

El logaritmo en base a de x, es tal que x = a^y.

Ejemplos de logaritmos:
log₂8=3 −−> 2³=8
log₅(1/25)=-2 −−> 5^-2=1/25

Dependiendo de si a > 1 o si a < 1, las gráficas de las funciones logarítmicas que se obtienen, deben ser simétricas de las funciones exponenciales correspondientes, con respecto a la función identidad, ya que ambas son inversas.

Algunas de las propiedades más usuales de los logaritmos, son las siguientes:

• log_a(m.n) = log_am + log_an
• log_a(m/n) = log_am - log_an
• log_amⁿ = n . log_am

Estas propiedades, son cosecuencia de las leyes de la potenciación.

En la práctica, se utilizan generalmente, dos bases para los logaritmos.

Una es la base 10, a = 10, y cuyos logaritmos se denominan: logaritmos decimales (log₁₀).

La otra base es la e, a = e = 2.71818..., y cuyos logaritmos se denominan: logaritmos naturales (log_e).

Para simplificar la notación de los casos anteriores, se utiliza la siguiente denominación:

log x −−> hace referencia a los logaritmos decimales

ln x −−> hace referencia a los logaritmos naturales

Si se tuviera que utilizar cualquier otro tipo de base, la misma se debe especificar.

Ahora, existe una fórmula, para convertir logaritmos, desde una base a otra:

Algunas de las aplicaciones que tenemos, utilizando logaritmos, son las siguientes:

V = 10 Log (I/I₀) , que es la función para medir la sensación de volumen, que un sonido, de determinada intensidad, produce en el oído humano.

M = Log (I/I₀) , que es la función para medir la magnitud de un temblor, en la escala Ritcher, en función de la intensidad del mismo.

V_f = V_r Ln ( 1 / (1-m/M₀) ) , que es la función para medir la velocidad final de un cohete, en función del peso del combustible, y del peso total inicial.