Función Cuadrática

Función Cuadrática: concepto, representación gráfica, características, método de resolución, casos y ejemplos

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Concepto de Función Cuadrática

La función cuadrática es un polinomio de segundo grado. La función cuadrática tiene la siguiente forma: y = a2x2 + a1x + a0

Un caso simplificado de la función cuadrática, es y=x2, es decir, con a2=1, a1=0 y a0=0.

El gráfico de la función cuadrática, es una parábola, en la que a2 actúa como un factor de escala.

Si a2>0, las ramas de las parábolas serán hacia arriba. Mientras que si a2<0, las ramas son hacia abajo.

Si tenemos y=a2x2, con a2>1, las ramas se angostan con respecto a y=x2, mientras que si a2<1, las ramas se agrandan, con respecto a y=x2.

funciones-cuadraticas
funciones-cuadraticas-2

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Gráfica de la Función Cuadrática

Ahora, si tenemos la función cuadrática con la siguiente forma: y=a2x2+a0, está tiene una parábola similar a las anteriores, pero desplazadas en un valor a0, con respecto al eje y.

Si a0>0, la gráfica estará desplazada hacia arriba. Si a0<0, la gráfica estará desplazada hacia abajo.

(y como habíamos mencionado, si el valor de a2>0, las ramas irán hacia arriba. Mientras que si el valor de a2<0, las ramas irán hacia abajo).

funcion-cuadratica-a
funcion-cuadratica-b
funcion-cuadratica-c
funcion-cuadratica-d

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Vértice de la Función Cuadrática

En el caso general de la función cuadrática, podemos aplicar artificios para determinar su gráfica:

funcion-cuadratica-general
funcion-cuadratica-general
Es decir, sumando por un lado a12/4a22, y luego, agrupando por trinomio de cuadrado perfecto, obtenemos la expresión anterior, en la que luego podemos obtener el vértice de la parábola.
funcion-cuadratica-general-2
funcion-cuadratica-vertice

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Raíces de la Función Cuadrática

Luego, para obtener las ráices de la función cuadrática, es decir, los puntos donde la gráfica corta al eje de las absisas, factoreamos la expresión anterior, utilizando diferencia de cuadrados:

funcion-cuadratica-general-3
Por lo que, las ráices del polinomio de segundo grado, son:
funcion-cuadratica-general-4

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Ejemplo de la Función Cuadrática

Ejemplo de función cuadrática:
Sea y = -x2 + x + 6
y = -x2 + x + 6 + 1/4 - 1/4 (Sumamos y restamos 1/4 en la expresión, es decir, a12/4a22 )
y = -(x2 - x - 24/4 - 1/4 + 1/4) (aplicamos factor común de -1)
y = -(x2 - x - 25/4 + 1/4)
y = -(x2 - x + 1/4) + 25/4 (Despejamos 25/4)
y = -(x - 1/2)2 + 5/2
y = -((x - 1/2)2 - 5/2) (factoreando)
y = -(x - 1/2 + 5/2) . (x - 1/2 - 5/2)
y = -(x + 2) . (x - 3)

El vértice de la parábola lo encontramos en (1/2, 5/2), y las raíces de la función, son x=-2 y x=3.

funcion-cuadratica-ejemplo

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Discriminante de la Función Cuadrática

Discriminante: el discriminante, cuyo símbolo es Δ, surge del análisis de las raíces, y su valor es a12-4a2a0.

Si Δ>0, la gráfica corta al eje de las absisas en dos puntos. Si Δ=0, la raíz es múltiple, x1,2=a1/2a2, y la gráfica toca al eje de las absisas en ese punto. Y si Δ<0, la función cuadrática no tiene raíces reales, por lo que no corta el eje de las absisas.

funcion-cuadratica-determinante
funcion-cuadratica-determinante-2
funcion-cuadratica-determinante-3

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