Función Cuadrática

La función cuadrática es un polinomio de segundo grado. La función cuadrática tiene la siguiente forma: y = a₂x² + a₁x + a₀

Un caso simplificado de la función cuadrática, es y=x², es decir, con a₂=1, a₁=0 y a₀=0.

El gráfico de la función cuadrática, es una parábola, en la que a₂ actúa como un factor de escala.

Si a₂>0, las ramas de las parábolas serán hacia arriba. Mientras que si a₂<0, las ramas son hacia abajo.

Si tenemos y=a₂x², con a₂>1, las ramas se angostan con respecto a y=x², mientras que si a₂<1, las ramas se agrandan, con respecto a y=x².

Ahora, si tenemos la función cuadrática con la siguiente forma: y=a₂x²+a₀, está tiene una parábola similar a las anteriores, pero desplazadas en un valor a₀, con respecto al eje y.

Si a₀>0, la gráfica estará desplazada hacia arriba. Si a₀<0, la gráfica estará desplazada hacia abajo.

(y como habíamos mencionado, si el valor de a₂>0, las ramas irán hacia arriba. Mientras que si el valor de a₂<0, las ramas irán hacia abajo).

En el caso general de la función cuadrática, podemos aplicar artificios para determinar su gráfica:

Es decir, sumando por un lado a₁²/4a₂², y luego, agrupando por trinomio de cuadrado perfecto, obtenemos la expresión anterior, en la que luego podemos obtener el vértice de la parábola.

Luego, para obtener las ráices de la función cuadrática, es decir, los puntos donde la gráfica corta al eje de las absisas, factoreamos la expresión anterior, utilizando diferencia de cuadrados:

Por lo que, las ráices del polinomio de segundo grado, son:

Ejemplo de función cuadrática:
Sea y = -x² + x + 6
y = -x² + x + 6 + 1/4 - 1/4 (Sumamos y restamos 1/4 en la expresión, es decir, a₁²/4a₂² )
y = -(x² - x - 24/4 - 1/4 + 1/4) (aplicamos factor común de -1)
y = -(x² - x - 25/4 + 1/4)
y = -(x² - x + 1/4) + 25/4 (Despejamos 25/4)
y = -(x - 1/2)² + 5/2
y = -((x - 1/2)² - 5/2) (factoreando)
y = -(x - 1/2 + 5/2) . (x - 1/2 - 5/2)
y = -(x + 2) . (x - 3)

El vértice de la parábola lo encontramos en (1/2, 5/2), y las raíces de la función, son x=-2 y x=3.

Discriminante: el discriminante, cuyo símbolo es Δ, surge del análisis de las raíces, y su valor es a₁²-4a₂a₀.

Si Δ>0, la gráfica corta al eje de las absisas en dos puntos. Si Δ=0, la raíz es múltiple, x_1,2=a₁/2a₂, y la gráfica toca al eje de las absisas en ese punto. Y si Δ<0, la función cuadrática no tiene raíces reales, por lo que no corta el eje de las absisas.