Funciones Algebraicas

Las funciones algebraicas son funciones que se generan a partir de funciones elementales (como la función constante o la función identidad, entre otras), realizando operaciones sobre las mismas (como la suma, multiplicación o división).

Clasificación de las funciones algebraicas:

Las funciones algebraicas se clasifican para poner en evidencia ciertas características generales de ellas.

Las funciones algebraicas se pueden clasificar de acuerdo al siguientes esquema:

Las funciones racionales enteras o funciones polinomicas, tienen la siguiente forma:
y = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a_ixⁱ + ... + a₁x¹ + a₀x⁰
o lo que es lo mismo
y = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a_ixⁱ + ... + a₁x + a₀

Para el estudio de estas funciones, debemos considerar el dominio y codominio dentro del conjunto de números reales, R.

La función lineal es un polinomio de primer grado, y cuya gráfica, es una línea recta.

Las funciones lineales tienen la siguiente forma: y = a₁x + a₀

Más detalle acerca de la Función Lineal

La función cuadrática es un polinomio de segundo grado.

La función cuadrática tiene la siguiente forma: y = a₂x² + a₁x + a₀

Más detalle acerca de la Función Cuadrática

En este caso, las funciones de orden superior, se refieren a aquellas funciones, cuyo grado es mayor que el segundo, es decir, funciones de tercer y cuarto grado.

Las funciones de tercer grado, o funciones cúbicas, tienen la siguiente forma:
y = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

La gráfica de las funciones de tercer grado, es la parábola cúbica.

La forma simplificada de la función cúbica, es y=x³.

En caso de tener a₃>0, se puede deducir que, si x−>+∞, resulta que y−>+∞, mientras que, si x−>-∞, resulta que y−>-∞.

Ahora, en caso de tener a₃<0, se puede deducir que, si x−>+∞, resulta que y−>-∞, mientras que, si x−>-∞, resulta que y−>+∞.

Ejemplo de función cúbica:
Sea y = x³ - 2x² + x + 2

Primero, no consideramos el termino a₀, es decir, 2. Y luego, factoreamos la función restante:
y = x³ - 2x² + x
y = x ( x - 1)²

De la expresión obtenida, vemos que existe una raíz en x=0, y otra raíz múltiple en x=1.

También, del análisis surge que:
si x<0, resulta que y<0
si 0<x<1, resulta que y>0
si x>1, resulta que y>0

Por otra parte, las funciones de cuarto grado, tienen la siguiente forma:
y = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

En este caso, sus ramas estarán orientadas hacia arriba o hacia abajo, según sea el signo de a₄.

Si a₄>0, las ramas de las parábolas serán hacia arriba. Mientras que si a₄<0, las ramas son hacia abajo.

Una función racional fraccionaria es un cociente entre dos funciones racionales enteras.

La forma general de las funciones racionales fraccionarias, es la siguiente:

en la cuál, el numerador y el denominador son polinomios de grado m y n, respectivamente.

La función racional fraccionaria involucra la división por cero, para las raíces del polinomio denominador.

Es dominio de definición, todo el conjunto de los números reales R, excepto aquellos valores x, que anulan al denominador.

Los valores x que anulan al denominador, se los llama polos de la función.

Los valores x que anulan al numerador, se los llama ceros de la función.

es un caso particular de las funciones racionales fraccionarias, en la que m=1 y n=1, por lo que, la función que se obtiene, es la siguiente:

En la función homográfica, el único punto que no esta definido, es en x=-b₀/b₁, porque este, es un polo de la función. En las proximidades de este valor, la función homográfica tomará valores infinitamente grandes.

Podemos analizar que sucede con la función homográfica, en caso de que x−>±∞. Para ello, modificaremos la función, dividiendo en el numerador y en el denominador, dividiendo por b₁x en ambos:

Si x−>±∞, los términos a₀/b₁x y b₀/b₁x se hacen muy pequeños, tendiendo a cero, por lo que el valor de la función se aproxima a a₁/b₁.

Podemos ver que la gráfica, en este caso, queda delimitada por dos rectas, que llamaremos, asíntota vertical y asíntota horizontal.

La recta trazada sobre y=a₁/b₁, que es paralela al eje de las absisas, es la asíntota horizontal, mientras que la recta trazada sobre x=-b₀/b₁, que es paralela al eje de las ordenadas, es la asíntota vertical.

A dichas rectas o asíntotas, se le une o interseca la función, cuando x se hace infinitamente grande (es decir, se acerca a la asíntota horizontal), o cuando x se acerca a -b₀/b₁ (es decir, cuando se acerca la asíntota vertical).

En otras palabras, la distancia entre los puntos de la función y las rectas, disminuye a medida que x se acerca a -b₀/b₁ en un caso, y cuando x se hace infinitamente grande, en el otro caso.

Las funciones irracionales son aquellas en las que aparece la operación de la radicación, aparte de la suma, multiplicación y/o división.

Si se definen de R en R, es decir, del conjunto de números reales, en el conjunto de números reales, son relaciones, como es el caso de y=±√x.

Para poder obtener las funciones irracionales, debemos acotar adecuadamente, los dominios y los codominios.

Sin embargo, existen algunas excepciones, que están definidas para todo x ∈ R, como es el caso de y=³√x, cuya gráfica, es la siguiente:

Una ecuación algebraica es aquella, que toma la siguiente forma:
yⁿ + F₁(x)y^n-1 + F₂(x)y^n-2 + ... + F_i(x)y^n-i + ... + F_n-1(x)y + F_n = 0
con n como entero positivo, y F_i, como funciones explicitas.

Ejemplo de ecuaciones algebraicas:
y⁵ + xy³ - (x-1)y² + 1 = 0

Funciones algebraicas explicitas: son aquellas funciones algebraicas, donde y se encuentra como función de x.

Ejemplos de funciones explicitas:
y = x² + 2x - 3
y = 2/(x³ - x)

Funciones algebraicas implicitas: son aquellas que funciones y=f(x), que satisfacen la ecuación .

Toda función implícita, es posible modificarla como una ecuación algebraica, de la siguiente forma:
y - f(x) = 0

Es decir, toda función algebraica, es solución de alguna ecuación algebraica.

Por lo que, en toda ecuación algebraica, hay implícita una función algebraica, que es solución de ella.

No obstante, el hecho de explicitar funciones algebraicas, puede ser dificultoso, por ejemplo, en el caso de las ecuaciones de grado superior al 3, ya que se complica extraer las raíces de dicha ecuación, analíticamente.

Ejemplo: dada las siguientes funciones irracionales explícitas
y = x/2[-x ±√(x²-4x)]
las mismas, son soluciones de la ecuación algebraica:
y² + x²y + x³ = 0

Ahora, si tomamos a x como constante, podemos obtener la forma explícita, extrayendo las raíces correspondientes.

Por otra parte, en la ecuación algebraica:
y⁵ + 2xy³ + x²y² + 4 = 0
no se puede explicitar la variable dependiente