Funciones

Dados dos conjuntos numéricos, A y B, que llamaremos dominio y codominio respectivamente. Y sean además, los elementos x ∈ A e y ∈ B, y que exista una relación que los liga.

Entonces, la relación, es una función, si a cada elemento del dominio, le corresponde uno y solo un elemento del codominio:
función = [ (x;y) / x ∈ A, y ∈ B, y = F(x) ]

Se puede decir que, las funciones, son un tipo particular de relaciones.

Las funciones que nos interesan son aquellas en las que el dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Y estas funciones se llaman funciones de variable real.

La variable x que pertenece al dominio, se la llama variable independiente. La variable y que pertenece al codominio, se llama variable dependiente.

No interesa que el dominio sea mayor que la imagen, para la definición de función. Tampoco interesa que elementos distintos del dominio, tengan la misma imagen. Lo que si importa, es que para cada x exista una sola y.

Ejemplo válido de función:
Rel = [ (x;y) / x ∈ R, y ∈ R, y = x² ] es una función, porque todo elemento del dominio, tiene una y solo una imagen del codominio

Ejemplo no válido de función:
Rel = [ (x;y) / x ∈ R, y ∈ R, y = ±√x ] no estamos en presencia de una función.

Esta relación no es válida como función porque:
-como el dominio esta definido dentro del conjunto de números reales, hay valores de dicho dominio, para los cuales no existe imagen ( x < 0).
-como el codominio es definido dentro del conjunto de números reales, cada valor de x, tiene dos imágenes distintas.

Ejemplo válido de función:
Rel = [ (x;y) / x ∈ R ≥ 0, y ∈ R ≥ 0, y = ±√x ] en este caso, si estamos en presencia de una función.

Para definir una función, necesitamos establecer lo siguiente:
el dominio, el codominio, y la ley de relación entre x e y

Utilizaremos las letras f, g, h, ... para establecer la ley de relación.

La notación que se utiliza para definir funciones, tiene la siguiente estructura:
f : A −> B / y = f(x)

Es decir, la función f que relaciona los elementos del conjunto A (dominio), con los elementos del conjunto B (codominio), a través de la fórmula y = f(x).

A continuación, se detallará las gráficas de las diferentes funciones.

La definición de la función constante es la siguiente:
f : R −> R / y = c

Esta función toma el mismo valor en todo punto de su dominio.

La función identidad es aquella que para cada x, corresponde el mismo valor de y.

La definición de la función identidad es la siguiente:
f : R −> R / y = x

La definición de la función de valor absoluto o módulo es la siguiente:
f : R −> R / y = |x|

Esta función no se puede definir en una sola expresión, por lo que, hay que escribirla por separado, según sea x mayor o menor que cero.
f : R −> R / y = |x| = { x si x ≥ 0
f : R −> R / y = |x| = { -x si x ≤ 0

La definición de la función signo es la siguiente:
f : R −> R / y = sig(x) = { 1 si x > 0
f : R −> R / y = sig(x) = { 0 si x = 0
f : R −> R / y = sig(x) = { -1 si x < 0

La definición de la función cuadrática simplificada es la siguiente:
f : R −> R / y = x²

La definición de la función cúbica simplificada es la siguiente:
f : R −> R / y = x³

Es necesario, generalmente, apoyarse en una tabla de valores para su gráfica. Si x −> ±∞ , entonces y −> ±∞

La definición de la función hiperbólica o hipérbola es la siguiente:
f : R-[0] −> R / y = 1/x

Esta función no esta definida para x = 0.

Para x que se acerca a cero, por los valores positivos, la función tiende a infinito positivo.

Para x que tiende a cero, por los valores negativos, la función tiende a infinito negativo.

x −> +0, entonces y −> +∞
x −> -0, entonces y −> -∞

x −> -∞, entonces y −> -0
x −> +0, entonces y −> +0;

En este punto, definiremos las funciones pares o impares. Esto puede ayudarnos con el trazado de su gráfica.

Una función es par, si es simétrica con respecto al eje y.

Una función es par si f(x) = f(-x).

Las funciones pares son las siguientes:
y=c ; y=x²; y=|x|; y todas las funciones de la forma y=xⁿ, con n par.

Una función es impar, si es simétrica con respecto al origen.

Una función es impar si f(x) = -(f(-x)).

Las funciones impares son las siguientes:
y=x ; y=x³; y=sig(x); y todas las funciones de la forma y=xⁿ, con n impar.

Pueden existir también, funciones que no son pares, ni impares, como por ejemplo, la función escalón:
f : R −> R / y = { 1 si x ≥ 0
f : R −> R / y = { -1 si x < 0

Se pueden realizar operaciones entre funciones, y de esta forma, obtener nuevas funciones.

Las operaciones posibles para las funciones son la suma, la multiplicación y la división.

Suma de Funciones:

sean dos funciones, f: A −> B, y g: A −> B, llamaremos suma a:
f + g: A −> B
(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Ejemplo de Suma de Funciones:
Sea f(x)=2 y g(x)=x², con A y B, el conjunto de los números reales:
f(x) + g(x) = (f + g)(x) = x² + 2

Multiplicación de Funciones:

sean dos funciones, f: A −> B, y g: A −> B, llamaremos multiplicación o producto a:
f . g: A −> B
(f.g)(x) = f(x) . g(x)

Ejemplo de Multiplicación de Funciones:
Sea f(x)=2 y g(x)=x², con A y B, el conjunto de los números reales:
f(x) . g(x) = (f . g)(x) = x² . 2 = 2x²

División de Funciones:

sean dos funciones, f: A −> B, y g: A −> B, llamaremos división o cociente a:
f : g: A −> B
f/g(x) = f(x)/g(x) | si g(x)≠0, ∀ x ∈ A (para todo x que pertenece a A)

Ejemplo de División de Funciones:
Sea (f+g)(x)=x²+2, y teniendo h(x)=1:

La expresión algebraica fraccionaria esta definida para x ∈ R, ya que el polinomio denominador, carece de raíces reales.

Sean dos funciones g: A−>B y f: B−>C, la composición de g con f (f°g) es la función:
f°g: A −> C
(f°g)(x) = f(g(x))

El dominio de f debe coincidir con el codominio de g, para que la composición tenga sentido.

Ejemplo de composición de funciones:
sea g: R −> R / g(x) = x² + 2
y sea f: R −> R / f(x) = x³
(f°g)(x) = f(g(x)) = f(x²+2) = (x²+2)³ = x⁶ + 6x⁴ + 12x² + 8

También, se puede hacer la composición inversa g°f, ya que los dominios y codominios coinciden.
(g°f)(x) = g(f(x)) = (x³)² + 2 = x⁶ + 2

Llamaremos f^-1 a la función inversa de f.

La misma se obtiene de la siguiente manera:
Dada f: A −> B / y = f(x), despejamos a x como función de y, y obtenemos f^-1: B −> A / x = f^-1(y).

Ejemplo de función inversa:
Sea f: R −> R / y = 3x + 2

Si despejamos a x como función de y, obtenemos:
f: R −> R / x = 1/3y - 2/3

Para graficar ambas funciones en un mismo sistema, intercambiamos los nombres de variables de f^-1, de modo que queden de la siguiente manera:
f: R −> R / y = 1/3x - 2/3

x	-2	-1	0	1	2
y=f(x)	-4	-1	2	5	8

x	-2	-1	0	1	2
y=f-1(x)	-4/3	-1	2/3	1/3	0

La función f^-1 es simétrica a la función f, con respecto a la función identidad y=x.

Aunque no siempre es posible obtener una función inversa de una función. Por ejemplo:
f: R −> R / y = x²

Su inversa sería:
f: R −> R / x = ±√y
o intercambiando el nombre de variables: f: R −> R / y = ±√x

Pero y = ±√x no es función, ya que para un valor de x, hay más de un valor de y, y además porque para valores x<0, no esta definido dentro del conjunto de números reales.

No obstante, restringiendo adecuadamente el dominio y codominio de f^-1, obtenemos la siguiente función:
f: R ≥ 0 −> R ≥ 0 / y = √x

Una función es inyectiva, si dados dos valores cualesquiera x₁≠x₂, resulta f(x₁)≠f(x₂)

Para poder definir una función inversa, necesitamos primero, que distintos valores del dominio, no tengan la misma imagen. Si este es el caso, se dice que la función es inyectiva, o uno a uno.

Ejemplos de funciones inyectivas:
f: R −> R / y = x
f: R −> R ≥ 0 / y = x²
f: R −> R / y = x³

Para poder determinar gráficamente, si una función es inyectiva, podemos trazar rectas paralelas al eje x, y estas deben cortar la gráfica solo una vez.

Función Sobreyectiva:
es aquella en la que el conjunto imagen de f, coincide con el codominio, es decir: I ≡ B

Ejemplo de funciones sobreyectivas:
f: R −> R / y = x
f: R ≥ 0 −> R / y = x²
f: R −> R / y = x³

Función Biyectiva:
Toda función que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, se llama biyectiva.

Entonces, podemos determinar si una función tiene inversa, de acuerdo a la siguiente definición:
si f: A −> B / y = f(x), es una función biyectiva,
entonces, existe la inversa f^-1: B −> A / y = f^-1(x),

Además, las gráficas f y f^-1 resultan simétricas respecto a la función identidad.