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Definición de Funciones

Dados dos conjuntos numéricos, A y B, que llamaremos dominio y codominio respectivamente. Y sean además, los elementos x ∈ A e y ∈ B, y que exista una relación que los liga.

Entonces, la relación, es una función, si a cada elemento del dominio, le corresponde uno y solo un elemento del codominio:
función = [ (x;y) / x ∈ A, y ∈ B, y = F(x) ]

Se puede decir que, las funciones, son un tipo particular de relaciones.

Las funciones que nos interesan son aquellas en las que el dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Y estas funciones se llaman funciones de variable real.

La variable x que pertenece al dominio, se la llama variable independiente. La variable y que pertenece al codominio, se llama variable dependiente.

No interesa que el dominio sea mayor que la imagen, para la definición de función. Tampoco interesa que elementos distintos del dominio, tengan la misma imagen. Lo que si importa, es que para cada x exista una sola y.

Ejemplo válido de función:
Rel = [ (x;y) / x ∈ R, y ∈ R, y = x2 ] es una función, porque todo elemento del dominio, tiene una y solo una imagen del codominio

grafica-cuadratica

Ejemplo no válido de función:
Rel = [ (x;y) / x ∈ R, y ∈ R, y = ±√x ] no estamos en presencia de una función.

grafica-raiz-cuadrada

Esta relación no es válida como función porque:
-como el dominio esta definido dentro del conjunto de números reales, hay valores de dicho dominio, para los cuales no existe imagen ( x < 0).
-como el codominio es definido dentro del conjunto de números reales, cada valor de x, tiene dos imágenes distintas.

Ejemplo válido de función:
Rel = [ (x;y) / x ∈ R ≥ 0, y ∈ R ≥ 0, y = ±√x ] en este caso, si estamos en presencia de una función.

funcion-raiz-cuadrada

Para definir una función, necesitamos establecer lo siguiente:
el dominio, el codominio, y la ley de relación entre x e y

Utilizaremos las letras f, g, h, ... para establecer la ley de relación.

La notación que se utiliza para definir funciones, tiene la siguiente estructura:
f : A −> B / y = f(x)

Es decir, la función f que relaciona los elementos del conjunto A (dominio), con los elementos del conjunto B (codominio), a través de la fórmula y = f(x).

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Representación Gráfica de Funciones

A continuación, se detallará las gráficas de las diferentes funciones.

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Función Constante:

La definición de la función constante es la siguiente:
f : R −> R / y = c

Esta función toma el mismo valor en todo punto de su dominio.

funcion-constante

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Función Identidad:

La función identidad es aquella que para cada x, corresponde el mismo valor de y.

La definición de la función identidad es la siguiente:
f : R −> R / y = x

funcion-identidad

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Función Valor Absoluto o Módulo:

La definición de la función de valor absoluto o módulo es la siguiente:
f : R −> R / y = |x|

Esta función no se puede definir en una sola expresión, por lo que, hay que escribirla por separado, según sea x mayor o menor que cero.
f : R −> R / y = |x| = { x si x ≥ 0
f : R −> R / y = |x| = { -x si x ≤ 0

funcion-valor-absoluto

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Función Signo:

La definición de la función signo es la siguiente:
f : R −> R / y = sig(x) = { 1 si x > 0
f : R −> R / y = sig(x) = { 0 si x = 0
f : R −> R / y = sig(x) = { -1 si x < 0

funcion-signo

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Función Cuadrática (Parábola Cuadrática):

La definición de la función cuadrática simplificada es la siguiente:
f : R −> R / y = x2

funcion-cuadratica

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Función Cúbica (Parábola Cúbica):

La definición de la función cúbica simplificada es la siguiente:
f : R −> R / y = x3

Es necesario, generalmente, apoyarse en una tabla de valores para su gráfica. Si x −> ±∞ , entonces y −> ±∞

funcion-cubica

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Función Hiperbólica o Hipérbola:

La definición de la función hiperbólica o hipérbola es la siguiente:
f : R-[0] −> R / y = 1/x

Esta función no esta definida para x = 0.

Para x que se acerca a cero, por los valores positivos, la función tiende a infinito positivo.

Para x que tiende a cero, por los valores negativos, la función tiende a infinito negativo.

x −> +0, entonces y −> +∞
x −> -0, entonces y −> -∞

x −> -∞, entonces y −> -0
x −> +0, entonces y −> +0;

funcion-hiperbolica

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Paridad de Funciones

En este punto, definiremos las funciones pares o impares. Esto puede ayudarnos con el trazado de su gráfica.

Una función es par, si es simétrica con respecto al eje y.

Una función es par si f(x) = f(-x).

Las funciones pares son las siguientes:
y=c ; y=x2; y=|x|; y todas las funciones de la forma y=xn, con n par.

funcion-par

Una función es impar, si es simétrica con respecto al origen.

Una función es impar si f(x) = -(f(-x)).

Las funciones impares son las siguientes:
y=x ; y=x3; y=sig(x); y todas las funciones de la forma y=xn, con n impar.

funcion-impar

Pueden existir también, funciones que no son pares, ni impares, como por ejemplo, la función escalón:
f : R −> R / y = { 1 si x ≥ 0
f : R −> R / y = { -1 si x < 0

funcion-escalon

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Operaciones con Funciones

Se pueden realizar operaciones entre funciones, y de esta forma, obtener nuevas funciones.

Las operaciones posibles para las funciones son la suma, la multiplicación y la división.


Suma de Funciones:

sean dos funciones, f: A −> B, y g: A −> B, llamaremos suma a:
f + g: A −> B
(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Ejemplo de Suma de Funciones:
Sea f(x)=2 y g(x)=x2, con A y B, el conjunto de los números reales:
f(x) + g(x) = (f + g)(x) = x2 + 2


Multiplicación de Funciones:

sean dos funciones, f: A −> B, y g: A −> B, llamaremos multiplicación o producto a:
f . g: A −> B
(f.g)(x) = f(x) . g(x)

Ejemplo de Multiplicación de Funciones:
Sea f(x)=2 y g(x)=x2, con A y B, el conjunto de los números reales:
f(x) . g(x) = (f . g)(x) = x2 . 2 = 2x2


División de Funciones:

sean dos funciones, f: A −> B, y g: A −> B, llamaremos división o cociente a:
f : g: A −> B
f/g(x) = f(x)/g(x) | si g(x)≠0, ∀ x ∈ A (para todo x que pertenece a A)

Ejemplo de División de Funciones:
Sea (f+g)(x)=x2+2, y teniendo h(x)=1:

division-funciones
La expresión algebraica fraccionaria esta definida para x ∈ R, ya que el polinomio denominador, carece de raíces reales.

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Composición de funciones

Sean dos funciones g: A−>B y f: B−>C, la composición de g con f (f°g) es la función:
f°g: A −> C
(f°g)(x) = f(g(x))

El dominio de f debe coincidir con el codominio de g, para que la composición tenga sentido.

Ejemplo de composición de funciones:
sea g: R −> R / g(x) = x2 + 2
y sea f: R −> R / f(x) = x3
(f°g)(x) = f(g(x)) = f(x2+2) = (x2+2)3 = x6 + 6x4 + 12x2 + 8

También, se puede hacer la composición inversa g°f, ya que los dominios y codominios coinciden.
(g°f)(x) = g(f(x)) = (x3)2 + 2 = x6 + 2

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Función Inversa

Llamaremos f-1 a la función inversa de f.

La misma se obtiene de la siguiente manera:
Dada f: A −> B / y = f(x), despejamos a x como función de y, y obtenemos f-1: B −> A / x = f-1(y).

Ejemplo de función inversa:
Sea f: R −> R / y = 3x + 2

Si despejamos a x como función de y, obtenemos:
f: R −> R / x = 1/3y - 2/3

Para graficar ambas funciones en un mismo sistema, intercambiamos los nombres de variables de f-1, de modo que queden de la siguiente manera:
f: R −> R / y = 1/3x - 2/3

x -2 -1 0 1 2
y=f(x) -4 -1 2 5 8
x -2 -1 0 1 2
y=f-1(x) -4/3 -1 2/3 1/3 0

funcion-inversa

La función f-1 es simétrica a la función f, con respecto a la función identidad y=x.

Aunque no siempre es posible obtener una función inversa de una función. Por ejemplo:
f: R −> R / y = x2

Su inversa sería:
f: R −> R / x = ±√y
o intercambiando el nombre de variables: f: R −> R / y = ±√x

Pero y = ±√x no es función, ya que para un valor de x, hay más de un valor de y, y además porque para valores x<0, no esta definido dentro del conjunto de números reales.

No obstante, restringiendo adecuadamente el dominio y codominio de f-1, obtenemos la siguiente función:
f: R ≥ 0 −> R ≥ 0 / y = √x

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Función Inyectiva, Sobreyectiva y biyectiva

Una función es inyectiva, si dados dos valores cualesquiera x1≠x2, resulta f(x1)≠f(x2)

Para poder definir una función inversa, necesitamos primero, que distintos valores del dominio, no tengan la misma imagen. Si este es el caso, se dice que la función es inyectiva, o uno a uno.

Ejemplos de funciones inyectivas:
f: R −> R / y = x
f: R −> R ≥ 0 / y = x2
f: R −> R / y = x3

Para poder determinar gráficamente, si una función es inyectiva, podemos trazar rectas paralelas al eje x, y estas deben cortar la gráfica solo una vez.

Función Sobreyectiva:
es aquella en la que el conjunto imagen de f, coincide con el codominio, es decir: I ≡ B

Ejemplo de funciones sobreyectivas:
f: R −> R / y = x
f: R ≥ 0 −> R / y = x2
f: R −> R / y = x3

Función Biyectiva:
Toda función que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, se llama biyectiva.

Entonces, podemos determinar si una función tiene inversa, de acuerdo a la siguiente definición:
si f: A −> B / y = f(x), es una función biyectiva,
entonces, existe la inversa f-1: B −> A / y = f-1(x),

Además, las gráficas f y f-1 resultan simétricas respecto a la función identidad.

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