Relaciones

Relaciones: definición, concepto, representación gráfica y ejemplos. Significado de Dominio, Codominio e Imagen

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Concepto de Relaciones

Sean dos conjuntos numéricos A y B, cuyos elementos sean x e y respectivamente, una relación entre A y B es el conjunto de todos los valores x e y, denotados (x;y), tales que y esta ligado con x mediante la fórmula y=R(x).

Rel = [(x;y) / x ∈ A, y ∈ B, y=R(x)]

En matemática es muy importante el análisis de la variación de determinadas magnitudes, en relación con la variación de otras.

En este caso, nos interesa relacionar la variable x con la variable y por alguna ley, y que estas variables tomen valores pertenecientes a algún conjunto numérico.

En las relaciones, no nos interesa analizar las causas de lo que provoca la fluctuación de alguna de las variables.

Ejemplos de relaciones:

-disponibilidad de sillas fabricadas por cierta empresa, conforme sea la demanda que exista de las mismas. De este caso de estudio puede surgir una tabla de valores relacionada, en la que la variable x es la demanda, y la variable y es la disponibilidad:

x (Demanda de sillas) 2000 3000 5000 8000 10000
y (Disponibilidad de sillas) - 12000 16000 15000 13000

-otro ejemplo, puede ser la relación de las variables x, y ∈ Z (x, y pertenecen al conjunto de Números Enteros) sea tal que y es la raíz cuadrada de x. Entonces, el conjunto sería: Rel = [(x;y) / x ∈ Z, y ∈ Z, y = ±√x]

En esta relación, x<0 no esta definido. Y los valores x que no tienen raíz entera, no pueden entrar en esta relación, es por ello que solo tendríamos que usar números reales para poder incluir dichos casos.

x 0 1 4 9 16
y ±0 ±1 ±2 ±3 ±4

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Representación gráfica de la relación

Un número puede ser representado por un punto en una recta.

Disponiendo convenientemente las rectas a las que pertenecen las variables x e y, se puede obtener una representación gráfica de la relación.

La representación que usaremos para graficar una relación es la Representación Cartesiana, que consiste en colocar las rectas en forma perpendicular, intersectándose en el origen, de forma tal de definir un plano dividido en cuatro cuadrantes.

Sobre la recta horizontal, llamada Eje de Absisas, ubicaremos los valores positivos hacia la derecha, y sobre el eje vertical, llamado Eje de Ordenadas, tomaremos los valores positivos hacia arriba.

ejes-cartesianos

Suponiendo una absisa x y una ordenada y, el par (x;y), llamado Par Coordenado, puede representarse de forma cartesiana.
Por ejemplo, suponiendo los pares coordenados: (1;1), (-1;2), (-2;-1), (2;-3)

coordenadas-cartesianas

Así, queda establecida una correspondencia biunívoca entre los pares (x;y), y los puntos del plano, ya que estos pueden ser representados mediante coordenadas, y a su vez, las coordenadas determinan la posición de un punto en el plano.

Para la relación de las variables x, y ∈ Z (x, y pertenecen al conjunto de Números Enteros) sea tal que y es la raíz cuadrada de x, la gráfica de la relación es la siguiente: Rel = [(x;y) / x ∈ Z, y ∈ Z, y = ±√x]

x 0 1 4 9 16
y ±0 ±1 ±2 ±3 ±4

grafica-raiz-cuadrada

Las escalas elegidas para las rectas se adecuan a fin de obtener una representación proporcionada.

Si quisieramos graficar la relación anterior, pero con x, y ∈ R (x, y pertenecen al conjunto de Números Reales), tendríamos: Rel = [(x;y) / x ∈ R, y ∈ R, y = ±√x]
Con lo cuál, obtendríamos una colección densa de puntos, que configuraría el siguiente trazado:

grafica-raiz-cuadrada

Calculando varios puntos y deduciendo los espacios vacíos, podemos obtener dicha gráfica.

Notar que cuando la variable x se hace infinitamente grande, entonces y se hace infinitamente grande, ya sea positiva y negativamente.
x −> ∞ entonces y −> ∞

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Dominio, Codominio e Imagen

Sean dos conjuntos, A y B, y que haya una relación Rel entre ambos.

Se dice que si un par (x;y) ∈ Rel, entonces y es una imagen de x en la relación.

Conjunto Imágen: es el conjunto formado por todos los y que son imágenes de algún x. Se define de la siguiente manera:
I = [y ∈ B / (x;y) ∈ Rel]

Dominio: (o dominio de la relación) es el conjunto de valores x que admiten imágenes. Se define de la siguiente manera:
D = [x ∈ A / (x;y) ∈ Rel]

En el conjunto A pueden existir valores x que no intervienen en la relación, por lo que, estos no pertenecen al dominio entonces.

Por otro lado, el conjunto B puede ser mayor que el conjunto imágen, o en otras palabras, la imágen puede ser un subconjunto de B:
I ⊆ B

No todo y ∈ B debe ser imágen de algún x ∈ D.

Codominio: es el conjunto B de la relación, es decir, todos los valores posibles que puede adoptar y dentro de B.

Suponiendo la siguiente relación, donde x, y ∈ Z (x, y pertenecen al conjunto de Números Enteros)
Rel = [(x;y) / x ∈ Z, y ∈ Z, y = ±√x]

Algunos de los valores válidos de x son: 1, 4, 9, 16, 25, 36....

Mientras que algunos de los valores válidos para y son: ...., -6, -5, -4, -3, ...., 1, 2, 3, 4, 5.....

Es decir, el dominio son todos los x que admiten una raíz cuadrada exacta, es decir, x=y2 para algún y ∈ Z (y pertenece al conjunto de Números Enteros). Además, solos los x ∈ N (x pertenece al conjunto de Números Naturales), pueden pertenecer, es decir, x > 0.
D = [x ∈ N / y = ±√x es exacta ]

De esta forma, quedan excluidos los números 2, 3, 5, ... del dominio de la relación.

Ahora, cada y ∈ Z (y pertenece al conjunto de Números Enteros), es imágen de algún x ∈ D (x pertenece al Dominio), por lo que todo el conjunto Z (conjunto de números enteros), es el conjunto imágen en este caso
I = [Z]

En este caso, el conjunto imágen coincide con el codominio

Por otro lado, dada la relación
Rel = [ (x;y) / x ∈ R, y ∈ R, y = ±√x ]

En este caso, algunos de los valores válidos de x son: 1, √2, 2, 5/2, 3, 3.2, 4, 5, ....

Mientras que algunos valores válidos para y son: ...., -6, -5.5, -4, -7/2, ...., 1, 4/3, 3, 4.1, 5.....

Por lo que, los valores de x ≥ 0 pertenecen al dominio.

Y aquí, la imágen coincide con el codominio al igual que antes
D = [ R ≥ 0]
I = [R]

Suponiendo por otro lado la relación:
Rel = [ (x;y) / x ∈ R, y ∈ R, y = x2 ]

x ±3 ±2 ±1 0
y 9 4 1 0

grafica-cuadratica
Vemos que para x −> ±∞, entonces y −> +∞

El dominio es todo el eje real.

El codominio es también, todo el eje real.

La imágen solo toma valores positivos, por lo que la imágen es menor que el codominio
D = [R]
I = [R ≥ 0]

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