Factoreo de Polinomios

Factoreo de Polinomios: significado, concepto, ejemplos y reglas. Significado del Teorema de Gauss

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Significado de Factoreo de Polinomios

El factoreo de un polinomio, es convertir dicho polinomio, en un producto de expresiones (x±αi). Cada αi, corresponde a una ráiz del mencionado polinomio.

Todo polinomio de grado n, tiene n raíces. Las raíces pueden ser números reales, como números complejos.

Dado un polinomio:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + aixi + ... + a1x1 + a0x0
o lo que es lo mismo
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + aixi + ... + a1x + a0

El mismo, se puede escribir de la siguiente forma:
P(x) = an(x-αn) . (x-αn-1) . (x-αn-1) . ... . . (x-αi) . ... . . (x-α1) . x-α0)

Donde:
an es el coeficiente del término de mayor grado,
cada αi es un número real (si trabajamos solo con los números reales) que es raíz del polinomio

De esta forma, el polinomio se dice, que esta factoreado, y donde cada término (x-αi), es un factor.

En el caso de que un factor, este elevado a una potencia n, (x-αi)n, se dice que el polinomio P(x), tiene una raíz múltiple, de multiplicidad n para ese factor.

Ejemplo de polinomio con raíz múltiple:
Sea P(x) = x3 + 2x2 + x

Podemos aplicar factor común de x, y nos queda:
P(x) = x(x2 + 2x+ 1)

Y luego, dentro del paréntesis, nos queda un polinomio de segundo grado, que es un trinomio cuadrado perfecto:
P(x) = x(x + 1)2

Con lo que, aparece el factor (x+1) y por lo tanto, se dice que x=-1, que es el valor que hace cero al factor, es una raíz múltiple, de multiplicidad dos.

Cuando un polinomio tiene un grado superior a 3, no existe un método analítico general, para encontrar sus raíces. Las formas de hallar dichas raíces, para estos casos, son métodos numéricos, que por lo general, trabajan aproximando valores, hasta encontrar las raíces buscadas.

No obstante, existen métodos que dan buenos resultados, a la hora de obtener raíces.

Suponiendo que tenemos el polinomio de segundo grado:
P(x) = a2x2 + a1x + a0

Factoreando dicho polinomio, obtenemos:
P(x) = a2x2 + a1x + a0 = a2 (x-α1) (x-α2)

Y podemos aplicar la siguiente fórmula, para obtener las raíces:

factoreo-polinomios-segundo-grado

En donde se observa que, las raíces αi perteneceran al conjunto de los números reales, si el valor a12-4a2a0 es mayor o igual a cero (≥0). Si el valor es menor que cero, el radicando es negativo, y no existe solución en el campo de los números reales.

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Teorema de Gauss

Según el Teorema de Gauss, todo número racional, de la forma p/q, es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, de forma tal que, p es divisor del término independiente (a0), y q, es divisor del término principal.

Si un polinomio es de mayor grado que el polinomio de segundo grado, se utilizan métodos numéricos para obtener sus raíces.

El teorema de Gauss, es un método analítico, que bajo cierta condiciones, como la descritas anteriormente, permite factorear.

Ejemplo de teorema de Gauss:
Sea P(x) = 3x4 - 2x3 - 7x2 - 2x

Realizamos factor común de x:
P(x) = x (3x3 - 2x2 - 7x - 2)

Vemos que, los divisores del término independiente (-2), y del coeficiente principal (3), y posibles raíces del polinomio, son los siguientes:
±1, ±2, ±1/2, ±3, ±1/3, ±2/3

Evaluando cada una de estas posibles raíces, obtenemos:
1 −−> 3(1)3-2(1)2-7(1)-2 = 3(1)-2(1)-7(1)-2 = 3-2-7-2 = -8
-1 −−> 3(-1)3-2(-1)2-7(-1)-2 = 3(-1)-2(1)-7(-1)-2 = -3-2+7-2 = 0
2 −−> 3(2)3-2(2)2-7(2)-2 = 3(8)-2(4)-7(2)-2 = 24-8-14-2 = 0
-2 −−> 3(-2)3-2(-2)2-7(-2)-2 = 3(-8)-2(4)-7(-2)-2 = -24-8+14-2 = -20
1/2 −−> 3(1/2)3-2(1/2)2-7(1/2)-2 = 3(1/8)-2(1/4)-7(1/2)-2 = 3/8-2/4-7/2-2 = 3/8-4/8-28/8-16/8 = -45/8
-1/2 −−> 3(-1/2)3-2(-1/2)2-7(-1/2)-2 = 3(-1/8)-2(1/4)-7(-1/2)-2 = -3/8-2/4+7/2-2 = -3/8-4/8+28/8-16/8 = 5/8
3 −−> 3(3)3-2(3)2-7(3)-2 = 3(27)-2(9)-7(3)-2 = 81-18-21-2 = 40
-3 −−> 3(-3)3-2(-3)2-7(-3)-2 = 3(-27)-2(9)-7(-3)-2 = -81-18+21-2 = -80
1/3 −−> 3(1/3)3-2(1/3)2-7(1/3)-2 = 3(1/27)-2(1/9)-7(1/3)-2 = 3/27-2/9-7/3-2 = 1/9-2/9-21/9-18/9 = -40/9
-1/3 −−> 3(-1/3)3-2(-1/3)2-7(-1/3)-2 = 3(-1/27)-2(1/9)-7(-1/3)-2 = -3/27-2/9+7/3-2 = -1/9-2/9+21/9-18/9 = 0
2/3 −−> 3(2/3)3-2(2/3)2-7(2/3)-2 = 3(8/27)-2(4/9)-7(2/3)-2 = 24/27-8/9-14/3-2 = 8/9-8/9-42/9-18/9 = -60/9
-2/3 −−> 3(-2/3)3-2(-2/3)2-7(-2/3)-2 = 3(-8/27)-2(4/9)-7(-2/3)-2 = -24/27-8/9+14/3-2 = -8/9-8/9+42/9-18/9 = 8/9

Y como vemos, las raíces del polinomio, es decir, los valores que hacen cero al polinomio, son:
x=-1 ; x=2 ; x=-1/3

Luego, podemos factorear P(x) de la siguiente manera:
P(x) = x (x-2) (x-(-1)) (x-(-1/3))
O lo que es lo mismo:
P(x) = x (x-2) (x+1) (x+1/3)

También, podemos usar la regla de Ruffini, para factorizar un polinomio.

Por ejemplo, si hemos comprobado que x=-1 es una raíz de P(x), entonces, podemos dividir P(x) por (x-(-1)), o lo que es lo mismo, (x+1):

3 -2 -7 -2
-1 -3 5 2
3 -5 -2 0

Con esto, obtenemos la siguiente expresión, a partir del cociente obtenido:
P(x) = (3x2-5x-2)(x+1)

Luego, podemos factorear el polinomio de segundo grado, utilizando la fórmula:

factoreo-polinomios-segundo-grado

Lo que reemplazando, nos queda:

factoreo-polinomios-segundo-grado-2

Siendo las otras raíces, 2 y -1/3.

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Ejercicios de Factoreo de Polinomios

1) Factorear los siguientes polinomios

ejercicio 104 factoreo polinomios 01

ejercicio 104 factoreo polinomios 02

ejercicio 104 factoreo polinomios 03

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