Expresiones Algebraicas Enteras: División

Sean dos polinomios P(x) y Q(x) tales que el grado de P(x) > que el grado de Q(x), y que Q(x)≠0 (Q(x) distinto del polinomio nulo), entonces, existen dos polinomios tales que:

P(x) = Q(x).G(x)+R(x) donde P(x) es el dividendo, Q(x) es el divisor, G(x) es el cociente, R(x) es el resto.

El grado de G(x) es igual a la diferencia de los grados de P(x) y Q(x).

El grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). Si R(x) es el polinomio nulo, entonces se dice que el cociente P(x)/Q(x) es exacto.

En este sentido, la división de polinomios no es siempre posible.

Por ejemplo, si queremos dividir el polinomio P(x) del polinomio Q(x), y que el grado de Q(x) es mayor que el grado de P(x), entonces, no existe ningún polinomio G(x) tal que P(x) = Q(x).G(x).

Este es el procedimiento general que se utiliza para dividir cualquier polinomio:

Sea P(x) = 2x⁴+2x-1 | Q(x) = x²-1 −−> P(x)/Q(x)

Primero, se ordena el polinomio dividendo, según las potencias decrecientes, y se completa con monomios nulos, para las potencias faltantes:
P(x) = 2x⁴+0x³+0x²+2x-1
Q(x) = x²-1

Segundo, se divide el primer termino del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente:

2x4+0x3+0x2+2x-1	x2-1
	2x2

Tercero, multiplicar este término por el divisor y el producto obtenido, cambiado de signo, se suma al dividendo, y se obtiene de esta manera, un nuevo dividendo.

2x4+0x3+0x2+2x-1	x2-1
-2x4 +2x2	2x2
2x2+2x-1

Cuarto, se reiteran los pasos 2 y 3 tantas veces como sea necesario, hasta que el dividendo se transforme en el polinomio nulo, o su grado sea menor que el divisor.

2x4+0x3+0x2+2x-1	x2-1
-2x4 +2x2	2x2+2
2x2+2x-1
-2x2+2
2x+1

donde G(x) = 2x²+2 es el cociente y R(x) = 2x+1 es el resto

Esto lo podemos validar de la siguiente manera:
P(x) = Q(x).G(x)+R(x)
2x⁴+2x-1 = (x²-1).(2x²+2)+(2x+1)

Es una regla práctica para evaluar cocientes, cuando el polinomio divisor es de la forma x±a con a ∈ R.

Pasos para dividir polinomio con Regla de Rufini:
Teniendo P(x) = x³-4x-1 | Q(x) = x+3 −−> P(x)/Q(x)

1ro) se escriben en una fila, los coeficientes del dividendo completo (x³+0x²-4x-1), y ordenado, según las potencias decrecientes de la variable.
En una segunda fila, se escribe el opuesto del termino independiente del divisor (-3).

	1	0	-4	-1
-3

2do), en una tercera fila, se obtienen los coeficientes del cociente, el primero de los cuales es el primer término del dividendo:

	1	0	-4	-1
-3
	1

3ro) Para obtener los restantes términos, tomamos el valor obtenido en la tercer fila, lo multiplicamos por el opuesto al término independiente (-3), y al resultado, lo colocamos en la segunda fila, pero en la columna siguiente, del valor que utilizamos de la tercer fila.
Luego, sumamos los valores de esa columna, y al resultado, lo colocamos en la tercer fila.
El último número obtenido en la tercer fila, es el resto de la división.
Los otros números obtenidos, son los coeficientes del cociente.

	1	0	-4	-1
-3		-3	9	-15
	1	-3	5	-16

El resultado es G(x)=x²-3x+5 como cociente, que se obtiene con los 3 primeros números de la tercer fila, y cuyo grado, es un grado menor con respecto al dividendo.

Mientras que R(x)=-16 es el resto, y que corresponde al último número obtenido, en la tercer fila.

El Teorema del Resto se utiliza para validar el valor de un resto, de una división de polinomios.

El resto de la división de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x) de la forma (x-a), es igual al valor numérico de dicho polinomio en x=a, o sea R(x)=P(a).

Si Q(x) es de la forma (x+a), entonces R(x)=P(-a).

Si P(a)=0, se dice que el valor a, es una raíz del polinomio P(x).

Validación por Teorema del Resto:

sea P(x) = 2x³+x²-18x-7 | Q(x) = x-3

P(3) = 2(3)³+(3)²-18(3)-7 = 2

R(x) = P(3) = 2

1) Resolver

2) Dividir empleando la Regla de Ruffini

3) Comprobar el resto, utilizando el Teorema del Resto