Radicación

I- Primer propiedad de la radicación:
ⁿ√a = b (si el índice n es impar, y el radicando a es positivo, la raíz es única y positiva )
ⁿ√-a = -b (si el índice n es impar, y el radicando a es negativo, la raíz es única y negativa )
ⁿ√a = ±b (si el índice n es par, y el radicando a es positivo, existen dos raíces reales, de igual valor absoluto, y distinto signo )
ⁿ√-a = (si el índice n es par, y el radicando a es negativo, la solución no tiene solución real )

II- Segunda propiedad de la radicación: producto de radicales de igual índice
ⁿ√a.ⁿ√b = ⁿ√(a.b)

III- Tercer propiedad de la radicación: cociente de radicales de igual índice
ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b)

IV- Cuarta propiedad de la radicación: radical de otro radical
^m√(ⁿ√a) = ^m.n√a

V- Quinta propiedad de la radicación: reducción de radicales
^m.n√a^n.p = ^m√a^p

Reducir varios radicales a mínimo común índice, es encontrar otros radicales, que siendo respectivamente iguales a los dados, tengan por índice común, al mínimo común múltiplo de sus índices.

Ejemplo de reducción de radicales mínimo común índice:
³√5 ; ⁵√a² ; ²√7
^3.10√5¹⁰ ; ^5.6√a^2.6 ; ^2.15√7^15
30√5¹⁰ ; ³⁰√a¹² ; ³⁰√7¹⁵

Podemos extraer factores dentro de un radical, para simplificar la expresión:
ⁿ√(aⁿ.b) = ⁿ√aⁿ.ⁿ√b = a.ⁿ√b

Podemos introducir factores en un radical, para simplificar o modificar la expresión:
a.ⁿ√b = ⁿ√aⁿ.ⁿ√b = ⁿ√(aⁿ.b)

Para la multiplicación de radicales, se aplica la segunda propiedad de la radicación.

El producto de varios radicales, es el radical que tiene por coeficientes, al producto de los coeficientes dados, y cuyo radicando esta formado, por el producto de los radicandos de esos radicales, reducidos a mínimo común índice.

Ejemplo de multiplicación de radicales:
⁵√3.⁴√2 = ^5.4√3⁴.^4.5√2⁵ = ²⁰√3⁴.²⁰√2⁵ = ²⁰√81.²⁰√32 = ²⁰√(81.32) = ²⁰√2592

Es indentica a la multiplicación, pero se aplica la tercer propiedad de la radicación.

Ejemplo de división de radicales:
⁵√3 / ⁴√2 = ^5.4√3⁴ / ^4.5√2⁵ = ²⁰√3⁴ / ²⁰√2⁵ = ²⁰√81 / ²⁰√32 = ²⁰√(81/32)

Se entiende por racionalización de denominadores, que dada una fracción, cuyo denominador figura un radical, se buscará encontrar otra fracción igual a la dada, pero que en cuyo denominador, no figuren radicales.

-Primer caso: cuando el denominador es un radical único
En este caso, se extraen del radical, todos los factores posibles, y se multiplica el numerador y denominador, por el radical del mismo índice que el denominador, y cuyo radicando tiene por exponente, a la diferencia entre su índice, y su exponente.

Ejemplo de racionalización de denominadores, con denominador con radical único:

-Segundo caso: cuando el denominador es una suma o diferencia de un número racional y otro irracional cuadrático, o ambos son irracionales cuadráticos.
En este caso, se multiplica el numerador y denominador, por el conjugado del denominador, y se resuelven las operaciones.
El conjugado de la expresión a±√b es la expresión a=√b

Ejemplo de racionalización de denominadores, con números irracionales:

1) Resolver

2) Introducir factores dentro del radical

3) Extraer factores del radical

4) Multiplicar

5) Dividir

6) Racionalizar