Intervalos y Entornos Numéricos

Intervalos y Entornos: notación, significado y definición. Intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos y semiinfinitos. Ejercicios resueltos

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Definición de Intervalos

Se llama intervalo , o intervalo matemático, o intervalo númerico a un conjunto de puntos, limitado por dos valores extremos, a y b.

Se entiende que si se verifica que a < b (a menor que b), entonces, cualquier punto del intervalo, deberá ser mayor que a, y menor que b.

Entonces, supongamos que estamos trabajando con el conjunto de números reales R, por lo tanto, un intervalo es en realidad, un subconjunto de R.

Además, cualquier valor intermedio entre a y b, pertenece al subconjunto, y que designaremos con la letra x, para indicar que puede tomar diferentes valores.

Por lo tanto, definiremos al intervalo como el conjunto: [x ∈ R / a < x < b]
"el conjunto de los números x pertenecientes a los números reales, R, tal que x sea mayor que a y menor que b"
Lo que se simboliza con la siguiente notación: (a,b)
intervalo-abierto

En este intervalo, los valores a y b, no están comprendidos en el conjunto, y por esta razón, recibe el nombre de intervalo abierto.

En el caso de que los extremos estuvieran incluidos, se llama intervalo cerrado y se define: [x ∈ R / a ≤ x ≤ b]
La notación para este caso, es la siguiente: [a,b]

intervalo-cerrado

También, podemos tener intervalos semiabiertos (o semicerrados) y en este caso, uno de los extremos esta incluido en el conjunto, y el otro no.
Esto se indica de la siguiente manera; [a,b) ó (a,b]

Y por último, tenemos los intervalos semiinfinitos, que se definen de la siguiente manera:
[x ∈ R / x > a] esto se indica de la siguiente manera: (a,+∞)
ó [x ∈ R / x ≤ b] esto se indica de la siguiente manera: (-∞,b]

intervalo-semiinfinito
intervalo-semiinfinito-2

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Definición de Entornos

Suponiendo que a es un punto cualquiera, en el eje real, y σ un número positivo dado, llamaremos entorno o entorno numérico del punto a, de amplitud σ, al siguiente conjunto:
[x ∈ R / a-σ < x < a+σ ]

Los valores x pertenecientes al conjunto, están ubicados a una distancia menor que la que existe entre a y a-σ, y que la que existe entre a y a+σ, lo que sugiere que podemos denotar el entorno utilizando el concepto de valor absoluto:
|x - a| < σ

entorno

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Ejercicios con Intervalos

1) Indicar gráficamente, los siguientes intervalos

ejercicio 062 intervalos 01

ejercicio 062 intervalos 02

ejercicio 062 intervalos 03

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Ejercicios con Entornos

1) Indicar gráficamente, los siguientes entornos

ejercicio 062 entornos 01

ejercicio 062 entornos 02

ejercicio 062 entornos 03

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