Números Racionales y Números Irracionales

Números Racionales e Irracionales: definición, operaciones, símbolo y ejemplos. Expresiones decimales y expresiones fraccionarias. Ejercicios resueltos

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Concepto de Números Racionales

El conjunto de números racionales se denota con el símbolo Q.

Dicho conjunto Q, debe constar de tantos elementos como para contener al conjunto de los números enteros Z, y permitir que se conserven las propiedades y operaciones de este, y además, las operaciones del tipo a/b conde a y b son enteros, cualesquiera, y b≠0, debe tener solución.

Esto es porque en el conjunto de números enteros, Z, las divisiones en las cuáles el dividendo no es múltiplo del divisor, no pueden resolverse.

Las fracciones son la relación formada entre dos enteros a y b, cualesquiera.

Ejemplo de fracciones:

  • 1/4
  • -3/2
  • 17/7

Se dice que el conjunto Q, está formado por todas las fracciones y los enteros, o si se quiere, solamente por las fracciones, si suponemos que un entero puede escribirse como una fracción al dividirse por uno.

Tener en cuenta también, que generalmente, dos o más fracciones distintas pueden representar el mismo número. Esto es así, porque una fracción puede ser la forma simplificada de otra, en sus factores primos comunes.

Ejemplo de fracciones que representan el mismo número:

  • 4/5 = 8/10
  • 2/3 = 4/6

Se dice que si dos fracciones, a/b y c/d, son tales que a.d=b.c, entonces, representan el mismo número.
Por ejemplo:
4/5 = 8/10 --> 4.10 = 8.5
2/3 = 4/6 --> 2.6 = 4.3

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Gráfica de Números Racionales

Para realizar la representación gráfica de los números racionales sobre la recta, se pueden trazar las fracciones sobre la misma.

Es decir, a partir de las divisiones iniciales que teníamos sobre la recta, se acuerdo al segmento arbitrario elegido, se realizan subdivisiones, según la fracción correspondiente, y a posterior, asignamos la coordenada respectiva, a dicha fracción. En caso de tener más de una fracción, el proceso se repite para cada una de estas fracciones.

Dados dos puntos de la recta, que representan a dos números racionales, se pueden realizar infinitas divisiones entre ellos, independientemente de la cercarnía que exista entre ambos.

Algo que no ocurre con los números enteros, es que, entre dos números racionales, siempre existen "infinitos racionales".

Esto es una propiedad, y a partir de ella, se dice que los números racionales Z son un "conjunto denso".

No obstante, y si bien puede pensarse que toda la recta se puede cubrir con números racionales, esto no es así, ya que pueden existir casos, que entre números racionales, existan números irracionales.

grafica numeros racionales

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Operaciones en el conjunto de Números Racionales

1) a/b ± c/d = (a.d ± b.c) / b.d
2) a/b . c/d = a.c / b.d
a/b : c/d = a/b . (c/d)-1 (con b,c ≠ 0)

Se definen estas operaciones, a fin que el resultado de las operaciones con números racionales, sean igual que las operaciones con números enteros.

Cabe aclarar que, la expresión (c/d)-1=d/c, se llama recíproco de c/d, y es tal que,
(c/d)-1.c/d=1

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Expresiones decimales

Una fracción puede escribirse como una expresión decimal, y esta puede ser finita o infinita.

Las expresiones decimales infinitas forman "período", y esto se debe a que, si realizamos la operación a/b, el resto del cociente, en un paso cualquiera, puede tomar un valor entre 0,1,...(b-1).

Si el resto del cociente, en algún paso, toma el valor cero, la división termina y la expresión es finita.

Pero si el resto del cociente no es cero, la división continua y a lo sumo, al cabo de b pasos, el resto debe repetir algún valor tomado en un paso anterior, y a partir de allí, todas las cifras se repiten.

En ese sentido, la parte decimal anterior al período, se llama parte "no periódica", y la parte anterior a la coma, se llama "parte entera".
Y para representar el período, utilizamos el símbolo ^ sobre dicho período.

Ejemplo de expresiones decimales finitas e infinitas:
1/4 = 0.25 expresión decimal finita
-13/9 = -1.444... expresión decimal infinita
3549/990 = 3.5848484... expresión decimal infinita con período, (donde 3 es la parte entera, 5 es la parte no periódica y 848484... es el período)

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Concepto de Números Irracionales

Existen ciertos números que tienen infinitas cifras decimales, y sin embargo no forman período.

Dichos números no pueden representarse mediante la razón de dos enteros a y b, y reciben el nombre de números irracionales.

Ejemplos de números irracionales:

  • √2 = 1.4142...
  • √3 = 1.7320...

En una gráfica, los números irracionales intercalan a los números racionales.

Es decir, a pesar de que los números racionales forman un conjunto denso, no todos los puntos de la gráfica pertenecen a algún número racional.

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Ejercicios con Números Racionales

1) Resolver

ejercicio 053 numeros racionales 01

ejercicio 053 numeros racionales 02

ejercicio 053 numeros racionales 03

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Ejercicios con Números Racionales 2

2) Fracciones y Expresiones Decimales: encontrar la expresión decimal

ejercicio 053 numeros racionales 20 encontrar decimal

ejercicio 053 numeros racionales 21 encontrar decimal

ejercicio 053 numeros racionales 22 encontrar decimal

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Ejercicios con Números Racionales 3

3) Fracciones y Expresiones Decimales: convertir en fracciones

ejercicio 053 numeros racionales 30 convertir fraccion

ejercicio 053 numeros racionales 31 convertir fraccion

ejercicio 053 numeros racionales 32 convertir fraccion

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Ejercicios con Números Racionales 4

4) Fracciones y Expresiones Decimales: Efectuar las operaciones, convirtiendo previamente, los decimales en fracciones

ejercicio 053 numeros racionales 41a
ejercicio 053 numeros racionales 41b

ejercicio 053 numeros racionales 42a
ejercicio 053 numeros racionales 42b

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